Question

3．已知抛物线C：y²=4x．点P是其准线与x轴的交点，过点P的直线L与抛物线C交于A，B两点．
（1）当线段AB的中点在直线x=7上，求直线L的方程；
（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB的中点时，求△FAB的面积．

Answer 1

分析 设直线L的方程为：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
（1）∵线段AB的中点在直线x=7上，∴
$\left\{\begin{array}{l}{△=（2{k}^{2}-4）^{2}-4{k}^{4}=16-16{k}^{2}}\\{{x}_{x}+{x}_{2}=\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}=14}\end{array}\right.$⇒k
（2）当A为线段PB的中点时，PB=2PA⇒y₂=2y₁⇒$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}=\frac{4{x}_{1}}{4{x}_{2}}=4$，

解答 解：设直线L的方程为：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
（1）∵线段AB的中点在直线x=7上，∴
$\left\{\begin{array}{l}{△=（2{k}^{2}-4）^{2}-4{k}^{4}=16-16{k}^{2}}\\{{x}_{x}+{x}_{2}=\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}=14}\end{array}\right.$⇒k=±$\frac{1}{2}$，
∴直线L的方程：y=±$\frac{1}{2}$（x+1）
（2）当A为线段PB的中点时，PB=2PA⇒y₂=2y₁⇒$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}=\frac{4{x}_{1}}{4{x}_{2}}=4$，

点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．