Question

7．假设某次数学测试共有20道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个选项是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，否则得0分．某考生每道题都给出了答案，并且会做其中的12道题，其他试题随机答题，则他的得分X的方差D（X）=$\frac{75}{2}$．

Answer 1

分析 设剩下的8题答对的个数是Y，则得分X=5Y+60，且Y～B（8，$\frac{1}{4}$），先求出D（Y），再由D（X）=D（5Y+60）=5²×D（Y），能求出结果．

解答 解：设剩下的8题答对的个数是Y，则得分X=5Y+60，
且Y～B（8，$\frac{1}{4}$），
D（Y）=8×$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴D（X）=D（5Y+60）=5²×D（Y）=25×$\frac{3}{2}$=$\frac{75}{2}$．
故答案为：$\frac{75}{2}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列知识和二项分布知识，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差及二项分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．