Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，试求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意和等差数列的前n项和公式、通项公式，列出关于a₁、d方程组，求出a₁、d的值，代入等差数列的通项公式求a_n；
（2）根据（1）化简数列的通项

1

anan+1

，利用裂项相消法求出T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
因为S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，
所以

4a1+ 4×3 2 ×d=4(2a1+d) a1+(2n-1)d=2[a1+(n-1)d]+1

，
解得a₁=1、d=2，
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1（n∈N^*）；…（6分）
（2）由（1）得，

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．…（12分）

点评：本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式，以及裂项相消法求数列的和，注意求数列的和应先求出它的通项公式，这是常考的题型．