Question

某中学设计一项综合学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取三道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，已知在6道备选题中，考生甲有4道题能正确完成，两道题不能正确完成；考生乙每道题正确完成的概率都是

2

3

，且每道题正确完成与否互不影响．
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列；
（2）分别求甲、乙两考生正确完成题数的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：计算题

分析：（1）设考生甲、乙正确完成题数分别为ξ，η，则ξ取值分别为1，2，3；η取值分别为0，1，2，3．
再求出ξ，η取每个值时的概率，即得他们的分布列．
（2）根据他们的分布列，代入数学期望的公式，分别求它们的数学期望．

解答： 解析：（1）设考生甲、乙正确完成题数分别为ξ，η，则ξ取值分别为1，2，3；η取值分别为0，1，2，3．
则 P=（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P=（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P=（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

P（η=0）=C₃⁰(1

2

3

)3=

1

27

，P（η=1）=C₃¹(1

2

3

)2(

2

3

)1=

2

9

，
P（η=2）=C₃²(1

2

3

)1(

2

3

)2=

4

9

，P（η=3）=C₃³(1

2

3

)0(

2

3

)3=

8

27

，
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为

（2）Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2； Eη=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．
另解：实际上η服从二项分布B（3，

2

3

），∴Eη=3×

2

3

=2．（12分）

点评：本题考查求离散型随机变量的分布列及数学期望的方法，关键是找出随机变量的取值范围，以及取每个值时对应的概率．