Question

用数学归纳法证明对任何正整数n有

1

3

+

1

15

+

1

35

+

1

63

+…+

1

4n2-1

=

n

2n+1

．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数学归纳法证明：①当n=1时，易证等式成立；②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时等式成立，即

1

3

+

1

15

+

1

35

+

1

63

+…+

1

4k2-1

=

k

2k+1

，用上该归纳假设，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答： 证明：①当n=1时，左边=

1

3

，右边=

1

2+1

=

1

3

，
∴等式成立；
②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时等式成立，即

1

3

+

1

15

+

1

35

+

1

63

+…+

1

4k2-1

=

k

2k+1

，
则当n=k+1时，

1

3

+

1

15

+

1

35

+

1

63

+…+

1

4k2-1

+

1

4(k+1)2-1

=

k

2k+1

+

1

4(k+1)2-1

=

k

2k+1

+

1

(2k+3)(2k+1)

=

2k2+3k+1

(2k+3)(2k+1)

=

(k+1)(2k+1)

(2k+3)(2k+1)

=

k+1

2(k+1)+1

．
∴当n=k+1时等式也成立．
由①②知等式对任何正整数n都成立．

点评：本题考查数学归纳法，着重考查推理、变形与论证能力，属于中档题．