Question

如图△ABC为直角三形，∠C=90°，

OA

=(0，-4)，点M在y轴上，且

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，点C在x轴上移动．
（1）求点B的轨迹E的方程；
（2）过点F(0，

1

2

)的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N(0，a)(a＜0)，

NP

与

NQ

的夹角为θ，若θ≤

π

2

，求实数a的取值范围；
（3）设以点N（0，m）为圆心，以

2

为半径的圆与曲线E在第一象限的交点H，若圆在点H处的切线与曲线E在点H处的切线互相垂直，求实数m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，可得M是BC的中点，利用∠C=90°，结合向量的数量积为0，建立方程化简可求点B的轨迹E的方程；
（2）设出直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合

NP

•

NQ

≥0，可得k2≥

a2-a- 3 4

2a

恒成立，即可求实数a的取值范围；
（3）由题意知，NH是曲线C的切线，设H（x₀，y₀），可得

y0-m

x0

=x0，结合H在圆与抛物线上，即可求实数m的值．

解答： 解：（1）∵

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，∴M是BC的中点．
设B（x，y），则M(0，

y

2

)，C(-x，0)，

CB

=(2x，y)，

CA

=(x，-4)．
∵∠C=90°，∴CB⊥CA，

CB

•

CA

=0，(2x，y)•(x，-4)=0，
∴x²=2y．
故点B的轨迹E的方程为x²=2y（x≠0）…（4分）
（2）设直线l的方程为y=kx+

1

2

，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

NP

=(x1，y1-a)，

NQ

=(x2，y2-a)
由

y=kx+ 1 2 x2=2y

，得x²-2kx-1=0，△=4k²+1＞0恒成立．
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-1．
由

NP

•

NQ

≥0，得（x₁，y₁-a）•（x₂，y₂-a）≥0，
即x1x2+y1y2-a(y1+y2)+a2≥0．
又∵y=kx+

1

2

，
∴x1x2(1+k2)+(

1

2

k-ak)(x1+x2)+

1

4

-a+a2≥0，
∴k2≥

a2-a- 3 4

2a

恒成立，∴

a2-a- 3 4

2a

≤0，
又a＜0，∴a≤-

1

2

．…（9分）
（3）由题意知，NH是曲线C的切线，设H（x₀，y₀），则y′|_x=x0，
∴

y0-m

x0

=x0．
又∵

x

2 0

+(y0-m)2=2，

x

2 0

=2y0，
∴

x

2 0

=-2m≥0，∴m≤0．
消去x₀，y₀，得2m²-m-1=0，
解得m=1或-

1

2

．
又∵m≤0，∴m=-

1

2

…（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．