Question

已知F₁，F₂是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，抛物线y²=4x的焦点为椭圆E的一个焦点，直线y=x+

3

上到焦点F₁，F₂距离之和最小的点P恰好在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，过点S（0，-

1

3

）的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线方程求出物线y²=4x的焦点F₁坐标，求出F₁关于直线y=x+

3

的对称点，结合已知条件求出椭圆的长轴长，则a可求，再由b²=a²-c²求得b²，则椭圆方程可求；
（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点，求出AB垂直于两坐标轴时以AB为直径的圆的方程，联立方程组解得定点坐标，然后利用向量数量积证明一般结论．

解答： 解：（1）由抛物线的焦点可得：F₁（1，0），F₂（-1，0），
点F₁（1，0）关于直线y=x+

3

的对称点为F1′(-

3

，

3

+1)，
故|PF1|+|PF2|≥|F1′F2|=2

2

=2a，
因此a=

2

，b=1，c=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．
当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x²+y²=1  …①
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+(y+

1

3

)2=

16

9

  …②
联立①②得，

x=0 y=1

，∴定点M（0，1）．
证明：设直线l：y=kx-

1

3

，代入

x2

2

+y2=1，
有(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=

-16

9(2k2+1)

．
则

MA

=(x1，y1-1)，

MB

=(x2，y2-1)，

MA

•

MB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16

9(2k2+1)

-

4

3

k•

4k

3(2k2+1)

+

16

9

=0．
∴在y轴上存在定点M（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个定点．

点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解是处理这类问题的最为常用的方法，训练了向量垂直与数量积间的关系，是高考试卷中的压轴题．