题目内容
已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且经过两点(
，1)，(2，
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（-1，0）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，在x轴上是否存在点M，使
•
为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
| 2 |
| ||
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（-1，0）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，在x轴上是否存在点M，使
| MA |
| MB |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设椭圆的方程为Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，且A≠B），利用椭圆经过两点(
，1)，(2，
)，建立方程组，即可求椭圆C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，0），当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+1），椭圆与直线方程联立消元．根据韦达定理求得交点横坐标的和与积，根据题设中的向量的关系求得x0，进而得出M的坐标；当直线AB与x轴垂直时，则直线AB的方程为x=-1，求得A和B的坐标，即可求得x0，综合可得答案．
| 2 |
| ||
| 3 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，0），当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+1），椭圆与直线方程联立消元．根据韦达定理求得交点横坐标的和与积，根据题设中的向量的关系求得x0，进而得出M的坐标；当直线AB与x轴垂直时，则直线AB的方程为x=-1，求得A和B的坐标，即可求得x0，综合可得答案．
解答：
解：（1）设椭圆的方程为Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，且A≠B），则
∵椭圆经过两点(
，1)，(2，
)，
∴
，
解得A=
，B=
，
∴椭圆C的方程为
+
=1；
（2）设A(x1，y1
_
①直线l的斜率存在时，设l：y=k（x+1）
代入椭圆方程，消去y，可得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0
则x1+x2=-
_
假设存在点M（x0，0），
则
•
=(x1-x0，y1)•(x2-x0，y2)=(1+k2)x1x2+(k2-x0)(x1+x2)+k2+x02
=
若
•
为定值，则
=
，得x0=-
且
•
=
；
②直线l斜率不存在时，直线l：x=-1，则A(-1，-
_
当M(-
，0)时，
•
=
．
综上存在点M(-
，0)．
∵椭圆经过两点(
| 2 |
| ||
| 3 |
∴
|
解得A=
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 5 |
| y2 | ||
|
（2）设A(x1，y1
| ) |
①直线l的斜率存在时，设l：y=k（x+1）
代入椭圆方程，消去y，可得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0
则x1+x2=-
|
假设存在点M（x0，0），
则
| MA |
| MB |
=
| k2(3x02+6x0-1)+x02-5 |
| 3k2+1 |
若
| MA |
| MB |
| 3x2+6x0-1 |
| 3 |
| x02-5 |
| 1 |
| 7 |
| 3 |
| MA |
| MB |
| 4 |
| 9 |
②直线l斜率不存在时，直线l：x=-1，则A(-1，-
2
| ||
| 3 |
| ) |
当M(-
| 7 |
| 3 |
| MA |
| MB |
| 4 |
| 9 |
综上存在点M(-
| 7 |
| 3 |
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力．
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