Question

数列{a_n}，a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1-

1

2n

（n≥2，n∈N^*）
（1）求证：数列{2ⁿa_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=

1

2

a_n-1-

1

2n

（n≥2，n∈N^*），变形为2nan-2n-1an-1=-1，即可证明；
（2）由（1）等差数列的通项公式可得：2ⁿa_n=2-（n-1）=3-n．可得an=

3-n

2n

．利用“错位相减法”及等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：∵a_n=

1

2

a_n-1-

1

2n

（n≥2，n∈N^*），
∴2nan-2n-1an-1=-1，
∴数列{2ⁿa_n}是等差数列，首项为2a₁=2，公差为-1；
（2）解：由（1）可得：2ⁿa_n=2-（n-1）=3-n．
∴an=

3-n

2n

．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=

2

2

+

1

22

+0+

-1

24

+…+

4-n

2n-1

+

3-n

2n

，

1

2

Sn=

2

22

+

1

23

+0+

-1

25

+…+

4-n

2n

+

3-n

2n+1

，
∴

1

2

Sn=1-

1

22

-

1

23

-…-

1

2n

-

3-n

2n+1

=

3

2

-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

3-n

2n+1

=

1

2

+

n-1

2n+1

．
∴S_n=1+

n-1

2n

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”及等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．