Question

已知数列{a_n}，S_n是前n项的和，且满足a₁=2，对一切n∈N^*都有S_n+1=3S_n+n²+2成立，设b_n=a_n+n．
（1）求a₂；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）求

lim

n→∞

（

1

b1

+

1

b3

+…+

1

b2n-1

）的值．

Answer 1

考点：数列的极限,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据a₁=2，对一切n∈N^*都有S_n+1=3S_n+n²+2成立，令n=1，求得a₂ 的值．
（2）由S_n+1=3S_n+n²+2，可得S_n=3S_n-1+（n-1）²+2，两式相见可得a_n+1+（n+1）=3（a_n+n） ①．结合条件可得b_n+1=3b_n，从而证得数列{b_n}是公比为3的等比数列．
（3）求出{b_n }的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式求得

1

b1

+

1

b3

+…+

1

b2n-1

的值，从而求得所求式子的值．

解答： 解：（1）∵a₁=2，对一切n∈N^*都有S_n+1=3S_n+n²+2成立，
令n=1，可得 2+a₂=3×2+1+2，求得a₂=7．
（2）证明：∵S_n+1=3S_n+n²+2，∴S_n=3S_n-1+（n-1）²+2，
∴两式相见可得a_n+1=3a_n+2n-1，即a_n+1+（n+1）=3a_n+2n-1+（n+1）=3（a_n+n） ①．
又b_n=a_n+n，∴由①可得 b_n+1=3（a_n+1+n）=3b_n，∴数列{b_n}是公比为3的等比数列．
（3）由于b₁=a₁+1=3，故b_n=3×3^n-1=3ⁿ，
∴

1

b1

+

1

b3

+…+

1

b2n-1

=

1

3

+

1

33

+

1

35

+…+

1

32n-1

=

1 3 [1-( 1 9 )n]

1- 1 9

=

3

8

-

3

8

×(

1

9

)n，
∴

lim

n→∞

（

1

b1

+

1

b3

+…+

1

b2n-1

）=

lim

n→∞

 （

3

8

-

3

8

×(

1

9

)n ）=

3

8

．

点评：本题主要考查等比关系的确定，等比数列的前n项和公式的应用，求数列的极限，属于中档题．