Question

已知向量

n

=（

3

sin

x

4

，-1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），记f（x）=

m

•

n

，
（Ⅰ）求f（x）的值域和单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，若f（A）=-

1

2

，a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式、两角和差的三角公式可得f（x）=sin（

x

2

-

π

6

）-

1

2

，由此可得函数的值域．令 2kπ-

π

2

≤

x

2

-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，由条件利用正弦定理可得cosB的值可得B的值．由 f（A）=-

1

2

，求得 A=

π

3

，可得 C=π-A-B的值，从而得到△ABC为等边三角形，再根据a=2，求得△ABC的面积S．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

-cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

-

1+cos x 2

2

=sin（

x

2

-

π

6

）-

1

2

，
故函数的值域为[-

3

2

，

1

2

]．
令 2kπ-

π

2

≤

x

2

-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

4π

3

，k∈z，
故函数的单调递增区间为[4kπ-

2π

3

，4kπ+

4π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理可得 2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即 2sinAcosB=sinA，∴cosB=

1

2

，B=

π

3

．
∵f（A）=sin（

A

2

-

π

6

）-

1

2

=-

1

2

，∴sin（

A

2

-

π

6

）=0，∴

A

2

-

π

6

=0，∴A=

π

3

，∴C=π-A-B=

π

3

，
∴A=B=C，∴△ABC为等边三角形，再根据a=2，可得△ABC的面积S=

1

2

×2×2sin

π

3

=

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、两角和差的三角公式、正弦函数的单调性、正弦定理的应用，属于中档题．