Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0，（n≥2，n∈N）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用叠加法，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法，可求数列{b_n}的通项公式．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）
∴当n≥2时，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
∴a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，
∴an=2[n+(n-1)+…+3+2+1]=2

n(n+1)

2

=n(n+1)
当n=1时，a₁=1×（1+1）=2也满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）
（Ⅱ）bn=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

=

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

+…+

1

2n(2n+1)

=

1

(n+1)

-

1

(n+2)

+

1

(n+2)

-

1

(n+3)

+…+

1

2n

-

1

(2n+1)

=

1

(n+1)

-

1

(2n+1)

=

n

2n2+3n+1

点评：本题考查数列的通项与求和，正确运用叠加法、裂项法是解题的关键．