题目内容

已知变量x，y满足
2x-y≤0
x-2y+3≥0
x≥0
，则z=log2（x2+y2-4x+2y+4）的最小值是
 
．
考点：简单线性规划的应用
专题：不等式的解法及应用
分析：作出不等式组对应的平面区域，设m=x2+y2-4x+2y+4=（x-2）2+（y+1）2-1，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．
解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
m=x2+y2-4x+2y+4=（x-2）2+（y+1）2-1，则z=log2（x2+y2-4x+2y+4）=log2m，
则m的几何意义为动点P（x，y）到C（2，-1）距离的平方减去1，
由图象可知当P位于O点时，m取得最小值，
此时m=4，即z=log24=2．
故答案为：2．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
练习册系列答案
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设A是集合P={1，2，3，…，n}的一个k元子集（即由k个元素组成的集合），且A的任何两个子集的元素之和不相等；而对于集合P的包含集合A的任意k+1元子集B，则存在B的两个子集，使这两个子集的元素之和相等．
（1）当n=6时，试写出一个三元子集A．
（2）当n=16时，求证：k≤5，并求集合A的元素之和S的最大值．
已知向量
n
=（
3
sin
x
4
，-1），
n
=（cos
x
4
，cos2
x
4
），记f（x）=
m
•
n
，
（Ⅰ）求f（x）的值域和单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，若f（A）=-
1
2
，a=2，求△ABC的面积．
形如y=x 
1
xα
（x＞0）的函数称为“幂指型函数”，它的求导过程可概括成：取对数--两边对x求导--代入还原；例如：y=xx（x＞0），取对数lny=xlnx，对x求导
1
y
y′=lnx+1，代入还原y′=xx（lnx+1）；给出下列命题：
①当α=1时，函数y=x 
1
xα
（x＞0）的导函数是y′=
1-lnx
x2
x 
1
x
（x＞0）；
②当α＞0时，函数y=x 
1
xα
（x＞0）在（0，e 
1
α
）上单增，在（e 
1
α
，+∞）上单减；
③当b
1
α
＞e
1
e
时，方程bx=xα（b＞0，b≠1，α≠0，x＞0）有根；
④当α＜0时，若方程xα=logbx（b＞0，b≠1，x＞0）有两根，则e 
1
αe
＜b＜1；
其中正确的命题是
 
．
从3位男生1位女生中任选两人，恰好是一男一女的概率是
 
．
在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“?”．定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，为虚数单位），“z1?z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．现有以下命题：
①若z1?z2，则|z1|?|z2|；
②若z1?z2，则z12?z22；
③若z1?z2，z2?z3，则z1?z3；
④对于复数z?0，若z1?z2，则z•z1?z•z2；
其中正确命题的序号的是
 
（写出所以正确命题的序号）．
要得到函数y=2sin2x的图象，需将函数y=sin2x+
3
cos2x的图象向右平移至少m个单位（其中m＞0），则m=
 
．
某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为
 
．
若利用计算机随机取点（x，y），其中x∈（-1，1），y∈（-1，1），则所取的点（x，y）满足y＜-x2+1的概率为
 
．

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