Question

5．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x+y≤4\\ x-y-2≤0\end{array}\right.$，记目标函数z=2x+y的最大值为a，最小值为b，则a+b=8．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用数形结合求出目标函数的最大值和最小值，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（3，1），
代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=7．即a=7
当直线y=-2x+z经过点A（1，-1）时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．代入目标函数z=2x+y得z=2×1-1=1．
在目标函数z=2x+y的最小值为1．即b=1，
则a+b=7+1=8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．