Question

4．已知a＞c＞1＞b＞0，则（　　）

• A． b^-a＜b^-c
• B． log_ab＞log_cb
• C． a^b+c^b＜（a+c）^b
• D． log_a（c-b）＞log_c（a-b）

Answer 1

分析 a＞c＞1＞b＞0，
对于A．由b^-a＞b^-c，即可判断出正误；
对于B．由lga＞lgc＞0，可得$\frac{1}{lga}＜\frac{1}{lgc}$，lgb＜0，可得$\frac{lgb}{lga}$＞$\frac{lgb}{lgc}$，进而得出log_ab与log_cb的大小关系．
对于C．由$\frac{{a}^{b}+{c}^{b}}{（a+c）^{b}}$=$（\frac{a}{a+c}）^{b}$+$（\frac{c}{a+c}）^{b}$，1＞$\frac{a}{a+c}＞\frac{1}{2}$＞$\frac{c}{a+c}$＞0，且$\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}=1$，
令$\frac{a}{a+c}$=sinθ，$\frac{c}{a+c}$=cosθ，取θ∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．则sin^2bθ+cos^2bθ＞sin²θ+cos²θ=1，即可得出大小关系．
对于D．由c-b、a-b与1的大小关系不确定，因此无法确定log_a（c-b）＞log_c（a-b）的大小关系．

解答 解：∵a＞c＞1＞b＞0，
对于A．由b^-a＞b^-c，可知：A不正确；
对于B．由lga＞lgc＞0，∴$\frac{1}{lga}＜\frac{1}{lgc}$，lgb＜0，∴$\frac{lgb}{lga}$＞$\frac{lgb}{lgc}$，即log_ab＞log_cb，可知正确；
对于C．∵$\frac{{a}^{b}+{c}^{b}}{（a+c）^{b}}$=$（\frac{a}{a+c}）^{b}$+$（\frac{c}{a+c}）^{b}$，1＞$\frac{a}{a+c}＞\frac{1}{2}$＞$\frac{c}{a+c}$＞0，且$\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}=1$，
令$\frac{a}{a+c}$=sinθ，$\frac{c}{a+c}$=cosθ，取θ∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．则sin^2bθ+cos^2bθ＞sin²θ+cos²θ=1，
∴$\frac{{a}^{b}+{c}^{b}}{（a+c）^{b}}$=$（\frac{a}{a+c}）^{b}$+$（\frac{c}{a+c}）^{b}$＞1，∴a^b+c^b＞（a+c）^b．因此C不正确．
对于D．由c-b、a-b与1的大小关系不确定，因此无法确定log_a（c-b）＞log_c（a-b）的大小关系．
故选：B．

点评 本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．