题目内容
19．
如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=$\sqrt{3}$BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在平面BCDE上的射影为D点，则对翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是$\sqrt{2}$；
②三棱锥B-ACE的体积是$\frac{1}{6}$a3；
③直线BA与平面ADE所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$．
④平面EAB⊥平面ADE．
其中错误叙述的是③．
分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量与三棱锥的有关知识计算即可得出．
解答 解：如图所示，
建立空间直角坐标系．
D（0，0，0），C（0，-a，0），B（-a，-a，0），E（-a，0，0），A（0，0，a）．
下描述：
①$\overrightarrow{AB}$=（-a，-a，-a），$\overrightarrow{DE}$=（-a，0，0）．cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{DE}＞$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{3}a•a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴tan$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{DE}＞$=$\sqrt{2}$，因此AB与DE所成角的正切值是$\sqrt{2}$正确．
②三棱锥B-ACE的体积=VA-BCE=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCE}$×AD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{a}^{2}•a$=$\frac{1}{6}$a3，正确．
③取平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），$\overrightarrow{BA}$=（a，a，a），
设直线BA与平面ADE所成角为θ，则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此不正确．
④∵AD⊥平面BCDE，∴AD⊥BE，又BE⊥DE，BE∩DE=E，∴BE⊥平面ADE，BE?ABE，∴平面EAB⊥平面ADE，因此正确．
其中错误叙述的是 ③．
故答案为：③．
点评 本题空间线面位置关系及其计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
阅读快车系列答案| Y X | y1 | y2 | 总计 |
| x1 | a | 10 | a+10 |
| x2 | c | 50 | c+50 |
| 总计 | 40 | 60 | 100 |
| A． | a=10，c=30 | B． | a=15，c=25 | C． | a=20，c=20 | D． | a=30，c=10 |
| A． | 3 | B． | 2 | C． | 1 | D． | 0 |
| A． | 在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上单调递减 | B． | 在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上单调递增 | ||
| C． | 在区间[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]上单调递减 | D． | 在区间[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]上单调递增 |