Question

4．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{x-y≥-1}\\{2x-y≤3}\end{array}\right.$，若目标函数z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（a＞0，b＞0）的最大值为10，则5a+4b的最小值为8．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求5a+4b的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0
∴直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由图象可知当y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，即A（4，5）．
此时z=$\frac{4}{a}$+$\frac{5}{b}$=10，
即$\frac{2}{5a}$+$\frac{1}{2b}$=1，
则5a+4b=（5a+4b）（$\frac{2}{5a}$+$\frac{1}{2b}$）=2+2+$\frac{8b}{5a}$+$\frac{5a}{2b}$≥4+2$\sqrt{\frac{8b}{5a}•\frac{5a}{2b}}$=4+4=8，
当且仅当$\frac{8b}{5a}$=$\frac{5a}{2b}$，即4b=5a时，取等号，
故5a+4b的最小值为8，
故答案为：8；

点评 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．