Question

若两圆x²+y²+2ax+a²-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三条公切线，其中a，b∈R，ab≠0，则

4

a2

+

1

b2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,圆与圆的位置关系及其判定

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得a²+4b²=9，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得

4

a2

+

1

b2

的最小值．

解答： 解：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （x+a）²+y²=4，x²+（y-2b）²=1，
圆心分别为（-a，0），（0，2b），半径分别为2和1，故有

a2+4b2

=3，∴a²+4b²=9，
∴

4

a2

+

1

b2

=

1

9

（a²+4b²）（

4

a2

+

1

b2

）=

1

9

（8+

16b2

a2

+

a2

b2

）≥

1

9

（8+8）=

16

9

，
当且仅当

16b2

a2

=

a2

b2

时，等号成立，
∴

4

a2

+

1

b2

的最小值为

16

9

．
故答案为：

16

9

．

点评：本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到a²+4b²=9是解题的关键和难点．