Question

已知数列{a_n}各项为正，S_n为其前n项和，满足2S_n=3a_n-3，数列{b_n}为等差数列，且b₂=2，b₁₀=10，求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列递推式求得数列{a_n}为等比数列并求得首项和公比，得到通项公式；由已知求出等差数列的公差，得到等差数列的通项公式，然后分组求和得答案．

解答： 解：由2S_n=3a_n-3，取n=1得，2S₁=2a₁=3a₁-3，即a₁=3．
当n≥2时，有2S_n-1=3a_n-1-3，则2a_n=3a_n-3a_n-1，a_n=3a_n-1（n≥2），
∴数列{a_n}是以3为首项，以3为公比的等比数列，
则an=3n．
在等差数列{b_n}中，由b₂=2，b₁₀=10，得d=

b10-b2

10-2

=

10-2

10-2

=1．
∴b_n=b₂+（n-2）d=2+n-2=n．
∴数列{a_n+b_n}的前n项和T_n=（3¹+2²+…+3ⁿ）+（1+2+…+n）
=

3(1-3n)

1-3

+

(1+n)n

2

=

3n+1-3

2

+

n2+n

2

=

3(3n-1)+n2+n

2

．
故答案为：

3(3n-1)+n2+n

2

．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．