Question

.(本小题满分14分)
已知数列满足，.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求证：；
(Ⅲ)求数列的通项公式.

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

(Ⅰ)证明：用数学归纳法证明
(1)当时，.所以结论成立.
(2)假设时结论成立,即,则
.
所以.
即时,结论成立.
由(1)(2)可知对任意的正整数，都有.…………………………………4分
(Ⅱ)证明：．
因为，所以，即．
所以．……………………………………………………………………9分
(Ⅲ) 解：，
，
所以.
又，
所以.……………………………11分
又，
令，则数列是首项为,公比为的等比数列．
所以．
由，得．
所以．…………………………14分