Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤0}\\{-{x}^{2}+2x，x＞0}\end{array}\right.$，若方程f²（x）+bf（x）+$\frac{1}{4}$=0有六个相异实根，则实数b的取值范围（　　）

• A． （-2，0）
• B． （-2，-1）
• C． （-$\frac{5}{4}$，0）
• D． （-$\frac{5}{4}$，-1）

Answer 1

分析 先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．同时在结合函数f（x）的图象，确定b的取值范围．

解答 解：令t=f（x），则原函数方程等价为t²+bt+$\frac{1}{4}$=0．
作出函数f（x）的图象如图1：
图象可知当由0＜t＜1时，函数t=f（x）有3个交点．
所以要使f²（x）+bf（x）+$\frac{1}{4}$=0有六个相异实根，
则等价为有两个根t₁，t₂，
且0＜t₁＜1，0＜t₂＜1．
令g（t）=t²+bt+$\frac{1}{4}$，
则由根的分布（如图2）可得$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{f（0）=\frac{1}{4}＞0}\\{f（1）=1+b+\frac{1}{4}＞0}\\{0＜-\frac{b}{2}＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-1＞0}\\{b＞-\frac{5}{4}}\\{-2＜b＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞1或b＜-1}\\{b＞-\frac{5}{4}}\\{-2＜b＜0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{5}{4}$＜b＜-1，
则实数b的取值范围是（-$\frac{5}{4}$，-1）．

故选：D．

点评 本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键．