Question

如图，半圆O是一个湖面的平面示意图，其直径AB=8百米，为了便与游
客观光休闲，拟在观光区铺设一条从入口A到出口B的观光栈道，栈道由线段AD、线段DC及线段CB组成．其中点C为弧BD上一点，且线段AD=2百米．
（1）若线段CD=2百米，求线段BC的长；
（2）求整个观光栈道的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）连接BD，利用圆周角定理得到AD垂直于BD，在直角三角形ADB中，利用勾股定理求出BD的长，表示出sin∠ABD的值，利用等边对等角得到∠CBD=∠ABD，确定出cos∠CBD的值，利用余弦定理列出关系式，求出BC的长即可；
（2）由y=AD+DC+CB，利用正弦定理表示出DC与CB，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出最大值即可．

解答： 解：（1）连接BD，则AD⊥BD，
在Rt△ADB中，AD=2百米，AB=8百米，
根据勾股定理得：BD=

82-22

=2

15

（百米），sin∠ABD=

AD

AB

=

1

4

，
∵AD=CD=4百米，
∴∠CBD=∠ABD，
∴cos∠CBD=cos∠ABD=

1-sin2∠ABD

=

15

4

，
在△BCD中，由余弦定理得：CD²=BD²+BC²-2BD•BC•cos∠CBD，即4=60+BC²-2×2

15

•BC•

15

4

，
解得：BC=7或8，
∵点C为弧BD上一点，
∴BC=7百米；
（2）令y=AD+DC+CB，sinC=sin（π-A）=sinA=

15

4

，cosC=cos（π-A）=-cosA=-

1

4

，
由正弦定理

BD

sinC

=

DC

sin∠CBD

=

CB

sin∠CDB

=

2 15

15 4

=8，
DC=8sin∠CBD，CB=8sin∠CDB，
y=AD+DC+CB=2+8sin∠CBD+8sin∠CDB
=2+8sinα+8sin（π-α-C）
=2+8sinα+8sin（α+C）
=2+6sinα+2

15

cosα
=2+4

6

sin（α+θ）（其中cosθ=

6

4 6

，sinθ=

2 15

4 6

），
∴y=AD+DC+CB的最大值为2+4

6

，
则整个观光栈道的最大值为（2+4

6

）百米．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．