Question

函数f（x）=1-

1

x

（x≠0，x≠1），非空集合A满足x∈A则f（x）∈A．
（1）当2∈A求集合A；
（2）求出非空集合A中的元素；
（3）证明非空集合A中必含有负数元素．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：（1）把x=2代入，求出f（2）=

1

2

，把x=

1

2

代入，求出f（

1

2

）=-1，把x=-1代入，求出f（-1）=2，出现循环，从而求出A中的元素；
（2）设a∈A，得出f（a）=

a-1

a

∈A，把x=

a-1

a

代入，求出f（

a-1

a

）=-

1

a-1

∈A，把x=-

1

a-1

代入，求出f（-

1

a-1

）=a，出现循环，从而求出A中的元素；
（3）将A中的所有元素相乘得出-1＜0，从而得出非空集合A中必含有负数元素．

解答： 解：（1）x=2时，f（2）=1-

1

2

=

1

2

，
f（

1

2

）=1-2=-1，f（-1）=1-（-1）=2，
∴A={2，

1

2

，-1}；
（2）设a∈A，∴f（a）=1-

1

a

=

a-1

a

∈A，
∴f（

a-1

a

）=1-

a

a-1

=-

1

a-1

∈A，
∴f（-

1

a-1

）=a，
∴A={a，

a-1

a

，-

1

a-1

}；
（3）由（2）得：a•

a-1

a

•（-

1

a-1

）=-1，
∴非空集合A中必含有负数元素．

点评：本题考查了元素和集合的关系，可采用迭代法求出集合中的元素，是一道中档题．