Question

对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|2a-b|≥|b|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值三角不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：分类讨论，当b≠0时，|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|2a-b|

|b|

恒成立，故|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|2a-b|

|b|

的最小值，即可得出结论．

解答： 解：（1）当b=0时，原不等式恒成立，则x∈R．
（2）当b≠0时，|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|2a-b|

|b|

恒成立，故|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|2a-b|

|b|

的最小值．
设t=

a

b

，则

|a+b|+|2a-b|

|b|

=|t+1|+|2t-1|=

3t，t≥ 1 2 -t+2，-1＜t＜ 1 2 -3t，t≤-1

，
∴t=

1

2

时，取到最小值

3

2

，
∴|x-1|+|x-2|≤

3

2

，|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
故不等式的解集为[

3

4

，

9

4

]．

点评：本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，判断|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，是解题的关键．