Question

已知{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2且a₂，a₄，a₈成等比数列，若b_n=

2

n(an+2)

，则数列{b_n}的前n项和的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，1）
• B、（0，1）
• C、（0，

  1

  2

  ]
• D、（1，+∞）

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：设等差数列{a_n}是公差为d且d不为0，由题意和等比中项的性质列出方程求出d的值，代入等差数列的通项公式求出a_n，再代入b_n=

2

n(an+2)

化简后进行裂项，由裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和，化简后由式子个特点和n的取值范围求出它的范围．

解答： 解：设等差数列{a_n}是公差为d，且d不为0，
由a₁=2且a₂，a₄，a₈成等比数列得，（2+4d）²=（2+d）（2+7d），
解得d=2或d=0（舍去），
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n，
则b_n=

2

n(an+2)

=

2

n(2n+2)

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
所以数列{b_n}的前n项和S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1，
又n≥1，所以S_n≥

1

2

，
所以数列{b_n}的前n项和S_n的取值范围是[

1

2

，1），
故选：A．

点评：本题考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式，数列的求和方法：裂项相消法的应用，以及数列的函数特性．