Question

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13．
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n-3•（-1）ⁿ•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意设出等差数列及等比数列的公差及公比，然互根据通项公式结合已知列出方程组，解之即可；
（2）分组求和法，而对于{3•（-1）ⁿ•b_n}其实也是一个等比数列，则问题就解决了．

解答： 解：（1）由题意设an=1+(n-1)d，bn=qn-1，
则由已知得

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

，将上式×2-下式得2q⁴-q²-28=0，
即（2q²+7）（q²-4）=0，所以q²=4，又因为{b_n}是各项都为正数，所以q=2，代入原式得d=2，
an=2n-1，bn=2n-1．
（2）结合（1）知3•（-1）ⁿ•b_n=-3•（-2）^n-1，
其前n项和为

-3(1-(-2)n)

1-(-2)

=-[1-(-2)n-1]，
{a_n}的前n项和为

n(1+2n-1)

2

=n2，
所以数列{a_n-3•（-1）ⁿ•b_n}的前n项和S_n=n²-（-2）^n-1+1．

点评：本题考查了等差等比数列的基本量运算问题，分组法求和的问题，注意计算要准确．