Question

已知数列{a_n}与{b_n}有如下关系：a₁=2，a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），b_n=

an+1

an-1

．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=

an-1

an+1-1

求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅲ）设S_n是数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，求证S_n＜n+

4

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）（2）构造数列整体解决．
（3）列出来运用累加的方法求解．

解答： 答案 （Ⅰ）∵b₁=

a1+1

a1-1

=3，∴b_n+1=

an+1+1

an+1-1

=

1 2 (an+ 1 an )+1

1 2 (an+ 1 an )-1

=

1 2 bn+1

1 2 bn-1

∴b_n=

b

2 n-1

=

b

22 n-2

=…=b₁ 2n-1=3 2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=

bn+1

bn-1

=，∴

an-1

an+1-1

=

32n-1+1 32n-1-1 -1

32n+1 32n-1 -1

=3 2n-1+1．

∴c_n=3 2n-1+1．

（Ⅲ）∵n≥2时，a_n+1-1=

an-1

32n-1+1

≤

1

10

(an-1)，
当且仅n=2时取等号．且a₂=

1

2

（a₁+

1

a1

）=

5

4

，
故a₃-1≤

1

10

（a₂-1），a₄-1≤

1

10

（a₃-1），a₄-1≤

1

10

（a₃-1），a_n-1≤

1

10

（a_n-1-1），…．
以n-1个式子相加，
S_n-a₁-a₂-（n-2）≤

1

10

[S_n-1-a₁-（n-2）]，∴10S_n-

65

2

-10（n-2）≤S_n-a_n-n，
∴9S_n≤

25

2

+9n-

32n-1+1

32n-1-1

，∴S_n≤

25

18

+n-

32n-1+1

9(32n-1-1)

＜

25

18

+n-

1

9

=

23

18

+n＜

24

18

+n．
故S_n＜n+

4

3

得证．

点评：本题综合考察了数列与函数、不等式，方程的关系，运用化简仔细些．