Question

已知函数f（x）=lnx-ax+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，b∈[0，2]，且存在实数k，使得对任意的实数x∈[1，e]，恒有f（x）≥kx-xlnx-1，求k-b的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导数f′（x），分a≥0，a＜0两种情况讨论f（x）的单调性．
（2）将不等式f（x）≥kx-xlnx-1转化为于

f(x)

x

+lnx+

1

x

≥k．记g(x)=

f(x)

x

+lnx+

1

x

，x∈[1，e]．根据b的取值分0＜b≤1，1＜b＜e-1，b≥e-1三种情况，依据函数g（x）的单调性探究k-b的取值范围，从而得到k-b的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，
f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，（x＞0）．
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，
∴函数f（x）=lnx-ax+b在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，函数在（0，

1

a

）上单调递增，在（

1

a

，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）不等式f（x）≥kx-xlnx-1，
等价于

f(x)

x

+lnx+

1

x

≥k．
记g(x)=

f(x)

x

+lnx+

1

x

，x∈[1，e]．
则g′(x)=

-f(x)

x2

，其中f（x）=lnx-x+b．
由（Ⅰ）知函数f（x）在（0，1）上单调递增，
在（1，+∞）上单调递减，且f（1）=b-1．
（1）若0＜b≤1，则f（1）=b-1≤0，
g′(x)=

-f(x)

x2

≥0．
即函数g(x)=

f(x)

x

+lnx+

1

x

在区间[1，e]上单调递增．
则有k≤g（1）=b，此时k-b≤0．
（2）若

f(1)=b-1＞0 f(e)≥0

，
即b≥e-1时，g′(x)=

-f(x)

x2

≤0．
即函数即函数g(x)=

f(x)

x

+lnx+

1

x

在区间[1，e]上单调递减．
则有k≤g(e)=

2+b

e

，
此时k-b≤

b+2

e

-b=

2

e

+(

1

e

-1)b≤2+

1

e

-e＜0．
（3）当1＜b＜e-1时，即f（x）在[1，e]内有唯一零点，记为x₀．
则函数g(x)=

f(x)

x

+lnx+

1

x

在区间[1，x₀]上单调递减，在区间[x₀，e]上单调递增．
从而k≤g(x0)=lnx0+

1

x0

，其中f（x₀）=lnx₀-x₀+b=0．
∴k-b≤lnx0+

1

x0

-b=2lnx0+

1

x0

-x0，x₀∈（1，e）
令y=2lnx0+

1

x0

-x0，x₀∈（1，e），
则y′=

2

x0

-(

1

x0

)2-1=-(

1

x0-1

)2＜0．
∴k-b＜0．
综上，当k=b且0＜b≤1时，k-b取到最大值为0．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决．