题目内容
（1）过点P（0，1）作直线l使它被直线l1：2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
（2）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点斜率为2
的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，求该抛物线的方程．
（2）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点斜率为2
| 2 |
考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的一般式方程,抛物线的标准方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设l1与l的交点为A（a，8-2a），点A关于点P的对称点B（-a，2a-6）在l2上，解得a，然后求出直线l的方程．
（2）直线AB的方程与y2=2px联立，从而有4x2-5px+p2=0利用韦达定理，以及弦长公式|AB|=x1+x2+p=9，求出p从而抛物线方程．
（2）直线AB的方程与y2=2px联立，从而有4x2-5px+p2=0利用韦达定理，以及弦长公式|AB|=x1+x2+p=9，求出p从而抛物线方程．
解答：
解：（1）设l1与l的交点为A（a，8-2a），（2分）
则由题意知，点A关于点P的对称点B（-a，2a-6）在l2上，
代入l2的方程得-a-3（2a-6）+10=0，解得a=4，
即点A（4，0）在直线l上，（3分）
所以直线l的方程为x+4y-4=0．（5分）
（2）直线AB的方程是y=2
（x-
），（6分）
与y2=2px联立，从而有4x2-5px+p2=0，（7分）
所以：x1+x2=
，（8分）
由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，（9分）
所以p=4，从而抛物线方程是y2=8x．（10分）
则由题意知，点A关于点P的对称点B（-a，2a-6）在l2上，
代入l2的方程得-a-3（2a-6）+10=0，解得a=4，
即点A（4，0）在直线l上，（3分）
所以直线l的方程为x+4y-4=0．（5分）
（2）直线AB的方程是y=2
| 2 |
| p |
| 2 |
与y2=2px联立，从而有4x2-5px+p2=0，（7分）
所以：x1+x2=
| 5p |
| 4 |
由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，（9分）
所以p=4，从而抛物线方程是y2=8x．（10分）
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线方程的求法，考查计算能力．
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| x+a |
| x+b |
| x+c |
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| clnx-1 |
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| ||||||||
B、（
| ||||||||
C、（-∞，-
| ||||||||
D、（-∞，
|
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| ||
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|
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