题目内容
15．△ABC满足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，设M为△ABC内一点（不在边界上），记x、y、z分别表示△MBC、△MAC、△MAB的面积，若z=$\frac{1}{2}，则\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$最小值为（ ）| A． | 9 | B． | 8 | C． | 18 | D． | 16 |
分析 如图所示，△ABC满足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，可得cbcos30°=2$\sqrt{3}$，解得bc=4．可得S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin30°=1，可得x+y=$\frac{1}{2}$．（x，y＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
解答 解：如图所示，
∵△ABC满足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，
∴cbcos30°=2$\sqrt{3}$，解得bc=4．
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin30°=$\frac{1}{2}×4×\frac{1}{2}$=1，
∴x+y+$\frac{1}{2}$=1，解得x+y=$\frac{1}{2}$．（x，y＞0）．
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$=2（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）$=$2（5+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}）$≥$2（5+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}）$=18，当且仅当y=2x=$\frac{1}{3}$时取等号．
故选：C．
点评 本题考查了数量积运算性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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5．下列说法中正确的是（ ）
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| B． | 命题“若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题是真命题 | |
| C． | “x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”?“对于x∈[1，2]有（x2+2x）min≥（ax）max” | |
| D． | 命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题 |
6．若角θ是第四象限的角，则角${-^{\;}}\frac{θ}{2}$是（ ）
| A． | 第一、三象限角 | B． | 第二、四象限角 | C． | 第二、三象限角 | D． | 第一、四象限角 |
3．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$≥1的概率为$\frac{7}{8}$．
已知函数$f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示．
20．下列说法中正确的是（ ）
| A． | 经过不同的三点有且只有一个平面 | |
| B． | 没有公共点的两条直线一定平行 | |
| C． | 垂直于同一平面的两直线是平行直线 | |
| D． | 垂直于同一平面的两平面是平行平面 |