Question

10．已知函数$f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a-c）cosB=bcosC，求$f（\frac{A}{2}）$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用正弦定理化简，求出B，根据三角内角定理可得A的范围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论

解答 解：（1）由图象知A=1，$T=4（\frac{5π}{12}-\frac{π}{6}）=π$，∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+φ）
∵图象过（$\frac{π}{6}，1$），将点$（\frac{π}{6}，1）$代入解析式得$sin（\frac{π}{3}+φ）=1$，
∵$|φ|＜\frac{π}{2}$，
∴$φ=\frac{π}{6}$
故得函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，
根据正弦定理，得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∴2sinAcosB=sinA．
∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$
∴A+C=$\frac{2π}{3}$，即$0＜A＜\frac{2π}{3}$
那么：$f（\frac{A}{2}）=sin（A+\frac{π}{6}），0＜A＜\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1]$
故得$f（\frac{A}{2}）∈（\frac{1}{2}，1]$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．同时考查了正弦定理的运用化简．利用三角函数的有界限求范围，属于中档题．