Question

5．已知$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{16}}}（{x+1}），x＜0}\\{-{x^2}+x，x≥0}\end{array}}\right.$，则关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个不同的实数根a，b，c，则abc的取值范围是（　　）

• A． $（{-\frac{1}{16}，0}）$
• B． $（{-\frac{1}{4}，0}）$
• C． $（{-\frac{1}{8}，0}）$
• D． $（{-\frac{1}{2}，0}）$

Answer 1

分析 作出f（x）的函数图象，根据图象判断a，b，c的范围和关系，利用基本不等式和不等式的性质得出abc的范围．

解答 解：作出f（x）的函数图象，如图所示：

不妨设a＜b＜c，则-$\frac{1}{2}$＜a＜0$＜b＜\frac{1}{2}＜1$，
由图象可知b，c关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
∴b+c=1，bc＜（$\frac{b+c}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴0＜bc＜$\frac{1}{4}$，又-$\frac{1}{2}＜a＜0$，
∴-$\frac{1}{8}$＜abc＜0．
故选C．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，不等式的性质，属于中档题．