Question

11．若函数$f（x）=\sqrt{{2^{a{x^2}-2ax-1}}-1}$的定义域为R，则实数a的取值范围是∅．

Answer 1

分析 根据函数$f（x）=\sqrt{{2^{a{x^2}-2ax-1}}-1}$的定义域为R，得出${2}^{{ax}^{2}-2ax-1}$-1≥0恒成立，化为ax²-2ax-1≥0恒成立，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={4a}^{2}-4a×（-1）≤0}\end{array}\right.$，解不等式组即可．

解答 解：函数$f（x）=\sqrt{{2^{a{x^2}-2ax-1}}-1}$的定义域为R，
∴${2}^{{ax}^{2}-2ax-1}$-1≥0恒成立，
即${2}^{{ax}^{2}-2ax-1}$≥1恒成立，
∴ax²-2ax-1≥0恒成立；
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={4a}^{2}-4a×（-1）≤0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-1≤a≤0}\end{array}\right.$，
即a∈∅；
∴实数a的取值范围是∅．
故答案为：∅．

点评 本题考查了求函数定义域的应用问题，也考查了不等式恒成立的问题，是基础题．