Question

设动点P到点A（-1，0）和B（1，0）的距离分别为d₁和d₂，∠APB=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ（如图所示），那么点P的轨迹是（　　）

• A、圆
• B、椭圆
• C、双曲线
• D、抛物线

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先利用余弦定理写出d₁和d₂的等量关系式，然后把它变形为（d₁-d₂）²=*的形式，即|d₁-d₂|=*的形式，此时满足双曲线的定义，则问题得解．

解答： 解：在△PAB中，|AB|=2，即2²=d₁²+d₂²-2d₁d₂cos2θ，4=（d₁-d₂）²+4d₁d₂sin²θ，
所以|d₁-d₂|=2

1-λ

＜2（常数），
所以点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长2a=2

1-λ

的双曲线．
故选：C．

点评：本题考查双曲线的定义、标准方程，考查学生的计算能力，比较基础．