Question

11．已知p：直线y=（2m-3）x-m的图经过第一象限，q：方程$\frac{{x}^{2}}{1-m}$-y²=1表示双曲线，若命题p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 画图得到直线y=（2m-3）x-m的图经过第一象限时m的范围，再求出方程$\frac{{x}^{2}}{1-m}$-y²=1表示双曲线的m的范围，然后结合复合命题的真假判断求得实数m的取值范围．

解答 解：由y=（2m-3）x-m，得（2x-1）m-3x-y=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{2x-1=0}\\{-3x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线y=（2m-3）x-m过定点M（$\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}$），
如图，若使直线y=（2m-3）x-m的图经过第一象限，则
2m-3＜-3或2m-3＞0，
解得：m＜0或m$＞\frac{3}{2}$；
若方程$\frac{{x}^{2}}{1-m}$-y²=1表示双曲线，则1-m＞0，即m＜1．
若命题p∧q为假，p∨q为真，
则p与q一真一假．
当p真q假时，有m$＞\frac{3}{2}$；
当p假q真时，有0≤m＜1．
综上，取并集可得实数m的取值范围是[0，1）∪（$\frac{3}{2}，+∞$）．

点评 本题考查复合命题的真假判断，考查了直线系方程的应用，考查曲线为双曲线的条件，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．