Question

3．已知过点A（0，1）的直线l，斜率为k，与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N两个不同点．
（Ⅰ）求实数k取值范围；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=12$，其中O为坐标原点，求|MN|

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．
（Ⅱ）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程化简，再利用一元二次方程根与系数的关系求得x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的值，可得y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）的值，由x₁•x₂+y₁•y₂=12，解得k的值，从而求|MN|．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由$\frac{|2k-3+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，解得：$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．
故当$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$时，过点A（0，1）的直线与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N两点．
（Ⅱ）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，
可得 （1+k²）x²-4（k+1）x+7=0，
设M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4（k+1）}{{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{7}{{k}^{2}+1}$，
∴y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{{k}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{7}{{k}^{2}+1}$+$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{{k}^{2}+1}$=12，解得k=1，
∴|MN|=$\sqrt{2}•\sqrt{{4}^{2}-4•\frac{7}{2}}$=2．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．