Question

如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=

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．
（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；
（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为

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？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得BD⊥AB，AD=

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，AB=10=直径，由此能证明平面AEC⊥平面BCED．
（2）以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DE上存在点M，且

DM

=

1

3

DE

时，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为

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．

解答： （1）证明：∵BD⊥平面ABC，
∴BD⊥AB，又∵BD=1，cos∠ADB=

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，
∴AD=

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，AB=10=直径，
∴AC⊥BC，又EC⊥平面ACE，BC?平面BCED，
∴平面AEC⊥平面BCED．
（2）解：存在．
如图，以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（8，0，0），B（0，6，0），D（0，6，1），E（0，0，4），

AD

=（-8，6，1），

DE

=（0，-6，3），
设

DM

=λ

DE

=（0，-6λ，3λ），0＜λ＜1，
故

AM

=

AD

+

DM

=（-8，6-6λ，1+3λ），
由（1）得平面ACE的法向量为

CB

=（0，6，0），
设直线AM与平面CE所成角为θ，
则sinθ=

| AM • CB |

| AM |•| CB |

=

36-36λ

64+36(1-λ)2+(1+3λ)2 •6

=

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，
解得λ=

1

3

．
∴线段DE上存在点M，且

DM

=

1

3

DE

时，
使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为

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．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．