Question

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，P，Q分别为AE，AB的中点．

（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）证明：平面ADE⊥平面ABE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由中位线定理和公理4即可得到PQ∥CD，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）连接PD，CQ．证得四边形PDCQ是平行四边形，即有DP∥CQ，再由线面垂直的性质和判定，证得CQ⊥平面ABE，即有DP⊥平面ABE，再由面面垂直的判定定理，即可得证．

解答： 证明：（Ⅰ）∵P，Q分别为AE，AB的中点，
∴PQ∥BE，
∵EB∥DC，∴PQ∥CD，
PQ?平面ACD，CD?平面ACD，
∴PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）连接PD，CQ．
则PQ∥CD，且PQ=CD，
即有四边形PDCQ为平行四边形，
∴DP∥CQ，
∵CD⊥平面ABC，EB∥DC，
∴EB⊥平面ABC，CQ?平面ABC，
∴EB⊥CQ，
又AC=BC，Q为AB的中点，∴CQ⊥AB，∴CQ⊥平面ABE，
∴DP⊥平面ABE，
DP?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ABE．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理，记熟这些定理，是迅速解题的关键．