Question

已知点M（-5，0），F（1，0），点K满足

MK

=2

KF

，P是平面内一动点，且满足|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，
（Ⅰ）求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过Q（4，0）的直线l交C于A点（A在第一象限）．问：是否存在垂直于x轴的直线l′，使其被以AQ为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先确定K的坐标，再利用|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，即可求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）因为P在（Ⅰ）中的抛物线上，设出A的坐标，求出AQ的中点坐标，利用弦心距公式列式求出以AQ为直径的圆与直线x=a的相交弦长，由弦长为定值可求得定值a的值．

解答： 解：（Ⅰ）设K（x₀，y₀），P（x，y），
∵M（-5，0），F（1，0），

MK

=2

KF

，
∴（x₀+5，y₀）=2（1-x₀，-y₀），
∴x₀=-1，y₀=0，∴K（-1，0），
∵|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，
∴2

(x-1)2+y2

=（-1-x₀，-y₀）•（-2，0）
∴

(x-1)2+y2

=1+x，即y²=4x；
（Ⅱ）设A（x，y），∵Q（4，0），
∴以AQ为直径的圆的圆心即AQ的中点T（

x

2

+2，

y

2

），
以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长：
L=2

( x 2 +2-4)2+ y2 4 -( x 2 +2-a)2

=

(a-3)x+4a-a2

，
若a为常数，则对于任意实数x，L为定值的条件是a-3=0，即a=3时，L=

3

．
∴存在定直线x=3，以AQ为直径的圆与直线x=3的相交弦长为定值

3

．

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查了直线与圆的关系，训练了利用弦心距求弦长，是有一定难度题目．