Question

已知点M是曲线C上任一点，点M到点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线L交曲线C于A、B两点，若以AB为直径的圆经过原点O，求直线L的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出点M的轨迹是以F（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y2=4x y=kx+2

，得ky²-4y+8=0，由此利用韦达定理和以AB为直径的圆过原点O求出k=-

1

2

，由此能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵点M到点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1，
∴点M到点F（1，0）的距离等于到直线x=-1的距离，
∴点M的轨迹是以F（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为：y²=4x．
（2）设直线l的方程为y=kx+2（k≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x y=kx+2

，消去x得：ky²-4y+8=0，
则△=16-32k＞0，解得k＜

1

2

，
∴y₁y₂=

8

k

，x₁x₂=

y12

4

•

y22

4

=

4

k2

，
∴以AB为直径的圆过原点O，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

4

k2

+

8

k

=0，解得k=-

1

2

，
∴直线l的方程为y=-

1

2

x+2．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根与系数关系的合理运用．