Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为抛物线C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B、D两点．
（Ⅰ）若∠BFD=90°，且△BFD的面积为4，求p的值及圆F的方程；
（Ⅱ）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m、n距离的比值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，根据△BFD的面积为4，可求p的值，由此能求出圆F的方程．
（2）由对称性设A（x₀，

x02

2p

）（x₀＞0），则F（0，

p

2

），由点A，B关于点F对称得B，A的坐标，求出直线m，n的方程，即可求出坐标原点到m，n距离的比值．

解答： 解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p，点F到准线l的距离p，
∴

1

2

×2p×p=4，解得p=2，
∴|BF|=2

2

，
∴圆F的方程为x²+（y-1）²=8．
（2）由题设A（x₀，

x02

2p

）（x₀＞0），则F（0，

p

2

），
∵A，B，F三点在同一直线m上，
又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．
由点A，B关于点F对称得：B（-x₀，p-

x02

2p

），
∴p-

x02

2p

=-

p

2

，
∴x₀²=3p²，
∴A（

3

p，

3p

2

），直线m：y=

3p 2 - p 2

3 p

x+

p

2

，即x-

3

y+

3 p

2

=0，
由x²=2py得y=

x2

2p

，∴y′=

x

p

=

3

3

，
∴x=

3

3

p，
∴切点P（

3

3

p，

p

6

），
直线n：y-

p

6

=

3

3

（x-

3

3

p），即x-

3

y-

3

6

p=0
∴坐标原点到m，n距离的比值为

3 p

2

：

3

6

p=3．

点评：本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．