Question

已知集合A={t|2-a＜t＜2+a，a＞0}，B表示使方程

x2

2t-1

+

y2

2t+7

=1为双曲线的实数t的集合．
（1）当a=3时，判断“t∈A”是“t∈B”的什么条件？
（2）若“t∈A”是“t∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：（1）根据条件可求出B={t|-

7

2

＜t＜

1

2

}，将a=3带入集合A得A={t|-1＜t＜5}，容易判断t∈A得不出t∈B，t∈B得不出t∈A，所以“t∈A”是“t∈B”的既不充分又不必要条件；
（2）根据“t∈A”是“t∈B”的必要不充分条件，便可得到

2+a≥ 1 2 2-a≤- 7 2 a＞0

，解该不等式组即得a的取值范围．

解答： 解：（1）因为方程

x2

2t-1

+

y2

2t+7

=1要表示双曲线；
∴（2t-1）（2t+7）＜0；
解得-

7

2

＜t＜

1

2

；
所以B={t|-

7

2

＜t＜

1

2

}；
又∵a=3，∴A={t|-1＜t＜5}；
∵“t∈A”得不到“t∈B”，“t∈B”得不到“t∈A”；
所以“t∈A”是“t∈B”的既不必要也不充分条件；
（2）∵“t∈A”是“t∈B”必要不充分条件；
∴

a+2≥ 1 2 2-a≤- 7 2 a＞0.

，
∴a≥

11

2

；
∴a的取值范围为[

11

2

，+∞)．

点评：考查描述法表示集合，双曲线的标准方程，以及充分条件，必要条件，既不充分也不必要条件，必要不充分条件的概念．