Question

已知函数f（x）=

1

x2

+

4

1-x2

（-1＜x＜1，且x≠0）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若|t+1|≤f（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：柯西不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由柯西不等式f（x）=

1

x2

+

4

1-x2

=[x²+（1-x²）]（

1

x2

+

4

1-x2

）≥[x•

1

x

+

1-x2

•

2

1-x2

]²=9，即可得到最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|t+1|≤f（x）恒成立即为|t+1|不大于f（x）的最小值为9，解得即可得到t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为-1＜x＜1，且x≠0，所以1-x²＞0，
由柯西不等式f（x）=

1

x2

+

4

1-x2

=[x²+（1-x²）]（

1

x2

+

4

1-x2

）

≥[x•

1

x

+

1-x2

•

2

1-x2

]²=9，
当且仅当

x

1 x

=

1-x2 2

1-x2

，即x=±

3

3

时取等号，
∴f（x）的最小值为9．                       
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的最小值为9，
由题意可得|t+1|≤9，则-10≤t≤8，
则实数t的取值范围为[-10，8]．

点评：本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．