Question

已知圆O的方程为（x-1）²+（y+3）²=4．
（Ⅰ）求过点P（2，-1），且与圆O相切的直线l的方程；
（Ⅱ）直线m过点P（2，-l），且与圆O相交于A、B两点，若|AB|=2

3

，求直线m的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：kx-y-2k-1=0，则

|k+3-2k-1|

k2+1

=2，由此能求出直线l的方程．
（Ⅱ）由圆半径r=2，弦长|AB|=2

3

，知圆心（1，-3）到直线m的距离d=

4-3

=1，由此能求出直线m的方程．

解答： 解：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x=2，不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：
y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，
圆心（1，-3）到直线l的距离d=r=2，
∴

|k+3-2k-1|

k2+1

=2，
解得k=

4±2 7

3

，
∴直线l的方程为y=

4±2 7

3

（x-2）．
（Ⅱ）设直线m的方程为y+1=k₁（x-2），即k 1 x-y-2k₁-1=0，
∵圆半径r=2，弦长|AB|=2

3

，
∴圆心（1，-3）到直线m的距离d=

4-3

=1，
∴d=

|k1+3-2k1-1|

k12+1

=1，
解得k=

3

4

，∴直线m的方程为3x-4y-10=0．
当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=2，成立．
∴直线m的方程为3x-4y-10=0或x=2．

点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和点到直线的距离公式的合理运用．