Question

如图，四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=2，PC=4，E是AB的中点，F是CE的中点．
（1）建立适当的直角坐标系，写出点B、C、E、F的坐标；
（2）求EF与底面ABP所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）如图，以PA所在直线为x轴，PB所在直线为y轴，PC所在直线为z轴，P为原点建立直角坐标系，可得点B、C、E、F的坐标；
（2）证明∠FBG为BF与平面ABP所成的角，即可求EF与底面ABP所成角的余弦值．

解答： 解：（1）如图，以PA所在直线为x轴，PB所在直线为y轴，PC所在直线为z轴，P为原点建立直角坐标系，则B点坐标为（0，2，0），C点坐标为（0，0，4），A点坐标为（2，0，0）．
因为E为AB中点，所以E（1，1，0）．
因为F为CE中点，所以F（

1

2

，

1

2

，2）．
（2）连接PE，设G为PE中点，连接FG、BG，则G（

1

2

，

1

2

，0）
因为PA、PB、PC两两互相垂直，所以PC⊥平面ABP，
因为F、G分别为CE、PE的中点，
所以FG∥PC，所以FG⊥面ABP．
故∠FEG为EF与平面ABP所成的角．
因为

EF

=（-

1

2

，-

1

2

，2），

EG

=（-

1

2

，-

1

2

，0）．
所以cos∠FEG=

1 2

9 2 • 1 2

=

1

3

，
即EF与底面ABP所成的角的余弦值为

1

3

．

点评：本题考查BF与底面ABP所成的角的余弦值，考查向量知识的运用，正确求出向量的坐标是关键．