Question

关于函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+cos（2x+

π

6

）有下列命题：
①y=f（x）的最大值为

2

；
②y=f（x）的一条对称轴方程是x=

π

24

；
③y=f（x）在区间（

π

24

，

13π

24

）上单调递减；
④将函数y=

2

cos2x的图象向左平移

5π

24

个单位后，与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是

 

．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=

2

sin（2x+

5π

12

），由此求得它的最大值、单调区间、对称轴，以及它的图象与函数y=

2

cos2x的图象间的关系，从而得出结论．

解答： 解：函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+cos（2x+

π

6

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

cos2x-

1

2

sin2x=

3 +1

2

cos2x+

3 -1

2

sin2x
=

2

（

6 + 2

4

cos2x+

6 - 2

4

sin2x）=

2

sin（2x+φ），其中，sinφ=

6 + 2

4

，cosφ=

6 - 2

4

，∴φ=

5π

12

，
即f（x）=

2

sin（2x+

5π

12

）．
显然，函数的最大值为

2

，故①正确．
由于当x=

π

24

时，sin（2x+

5π

12

）=sin

π

2

=1，故y=f（x）的一条对称轴方程是x=

π

24

，故②正确．
令2kπ+

π

2

≤2x+

5π

12

≤2kπ+

3π

2

，求得kπ+

π

24

≤x≤kπ+

13π

24

，k∈z，故y=f（x）在区间（

π

24

，

13π

24

）上单调递减，故③正确．
将函数y=

2

cos2x的图象向左平移

5π

24

个单位后，所得图象对应的函数解析式为y=

2

cos2（x+

5π

24

）=cos（2x-

5π

12

），显然不和f（x）的解析式相同，故④不正确，
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查三角函数性质及简单的三角变换，属于中档题．