Question

平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，命题：
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b必经过无穷多个整点；
④存在恰经过一个整点的直线；
其中的真命题是

 

（写出所有真命题编号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：通过举例，即可说明①的真假；
通过反例即可判断②的真假；
通过列举反例即可判断③的真假；
通过举例，即可判断命题④的真假．

解答： 解：对于①，令y=x+

1

2

，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，∴①命题正确；
对于②，若k=

2

，b=

2

，则直线y=

2

x+

2

，经过（-1，0），所以本命题错误；
对于③，例如k=

1

3

，b=

1

2

，直线为y=

1

3

x+

1

2

=

2x+3

6

，满足③，则2x+3被6整除，这是不可能的，则③不正确；
对于④，令k=

2

，b=0，直线为：y=

2

x恰经过整点（0，0），∴命题④正确．
综上，命题正确的序号有：①④．
故答案为：①④．

点评：此题考查学生会利用举反例的方法说明一个命题为假命题，要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明，以及考查学生对题中新定义的理解能力，是一道中档题．