Question

7．如图所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．

（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由AE⊥平面BCD得AE⊥CD，结合CD⊥BC得出CD⊥平面ABC，故而平面ACD⊥平面ABC；
（2）证明AB⊥平面ACD，故而V_A-BCD=V_B-ACD=$\frac{1}{3}$•S_△ACD•AB．

解答 （1）证明：∵AE⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AE⊥CD．
又BC⊥CD，且AE∩BC=E，
∴CD⊥平面ABC．
又CD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）由（1）知，CD⊥平面ABC，又AB?平面ABC，
∴CD⊥AB．
又∵AB⊥AD，CD∩AD=D，
∴AB⊥平面ACD．
∴V_A-BCD=V_B-ACD=$\frac{1}{3}$•S_△ACD•AB．
又∵在△ACD中，AC⊥CD，AD=BC=4，AB=CD=3，
∴AC=$\sqrt{A{D^2}-C{D^2}}=\sqrt{{4^2}-{3^2}}=\sqrt{7}$．
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{7}×3×3=\frac{{3\sqrt{7}}}{2}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．