Question

16．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1．
（1）求证：BD₁⊥平面ACB₁；
（2）求直线BA₁与平面A₁C₁D₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD，推导出BD₁⊥AC，BD₁⊥AB₁，由此能证明BD₁⊥平面ACB₁，
（2）由BB₁⊥平面A₁C₁D₁，知∠BA₁B₁是直线BA₁与平面A₁C₁D₁所成角，由此能求出直线BA₁与平面A₁C₁D₁所成角的正弦值．

解答 证明：（1）连结AC、BD，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，
∴DD₁⊥AC，四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵DD₁∩BD=D，∴AC⊥平面BDD₁，∴BD₁⊥AC，
同理，得BD₁⊥AB₁，
∵AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥平面ACB₁，
解：（2）∵BB₁⊥平面A₁C₁D₁，
∴∠BA₁B₁是直线BA₁与平面A₁C₁D₁所成角，
∵A₁B₁=BB₁=1，A₁B₁⊥BB₁，∴${A}_{1}B=\sqrt{2}$，
∴sin∠BA₁B₁=$\frac{{A}_{1}{{B}_{1}}_{\;}^{\;}}{{A}_{1}B}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线BA₁与平面A₁C₁D₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．