Question

已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率e=

1

2

，若点P为椭圆C上的一个动点，且|PF₁|•|PF₂|的最大值为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出|PF₁|•|PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²=4，且

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，

1

4

）．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，
∵F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
点P为椭圆C上的一个动点，且|PF₁|•|PF₂|的最大值为4，
∴|PF₁|•|PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²=4，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|时取等号，
∵离心率e=

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，解得c=1，b=

3

，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），
联立，得

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，
整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵直线l与椭圆C交于M、N两点，
∴△=64k²-4（3+4k²）（4k²-12）＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），

PM

+

PN

=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
∵菱形的对角线互相垂直，∴（

PM

+

PN

）•

MN

=0，（*）
∴（x₂-x₁）[x₁+x₂-2m+k（y₁+y₂）]=0，
∴k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²•（

8k2

3+4k2

-2）+

8k2

3+4k2

-2m=0，
由题意得k≠0，且k∈R，
∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
∴0＜m＜

1

4

，
∴存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，

1

4

）．

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．